Friedrich Zehm wurde am 22. Januar 1923 in Neusalz an der Oder geboren. 1941 begann er ein Musikstudium am Mozarteum in Salzburg bei Walther Lampe (Klavier) und Friedrich Frischenschlager (Theorie). Noch im gleichen Jahr wurde er zum Arbeits- und Militärdienst eingezogen und 1942 schwer verwundet.

In den Jahren 1945 bis 1946 nahm er private Klavierstunden in Hamburg bei Detlef Kraus und unterrichtete von 1946 bis 1948 Musik am Landerziehungsheim Unterschondorf am Ammersee. Ab 1948 setzte Zehm seine Studien an der Musikhochschule Freiburg/ Breisgau fort, Harald Genzmer (Komposition) und Edith Picht-Axenfeld (Klavier) waren hier prägende Lehrer. 1952 legte er sein Examen ab und lebte von 1953 bis 1956 als Privatmusiklehrer, Pianist und Komponist in Freiburg. 1954 war er Stipendiat des Kulturkreises im Bundesverband der deutschen Industrie und von 1956 bis 1963 Musikreferent im Amerika-Haus in Freiburg. Von 1963 bis 1985 wirkte Zehm als Lektor und Redakteur im Schott-Verlag; in dieser Zeit lehrte er auch Tonsatz im Fachbereich Musikerziehung der Universität Mainz (1980 bis 1982).

Friedrich Zehm erhielt 1958 den Förderpreis zum Robert-Schumann-Preis (Düsseldorf), 1960 den Förderpreis für junge Komponisten (Stuttgart) und 1961 den Förderpreis der Künstlergilde Eßlingen. In seinem Schaffen sind Orchesterkompositionen und Kammermusik (insbesondere für Blasinstrumente) bis hin zu Werken für Sologesang und Chor vertreten.

Seine in freier Tonalität geschriebenen, oft mit einem humorvollen Augenzwinkern verbundenen Kompositionen sind durch ausgeprägte Rhythmik und raffinierte Kontrapunktik gekennzeichnet.

Seit 1985 lebte Zehm als freischaffender Komponist in Wiesbaden. Dort verstarb er am 4. Dezember 2007 im Alter von 84 Jahren.